ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA EN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN (SISTEMA SIN REALIMENTAR)

INTRODUCCION TEORICA

La respuesta transitoria constituye el hecho de que los sistemas que pueden almacenar energía no responden instantáneamente, y presentan estados transitorios cada vez que están sujetos a entradas o perturbaciones, hasta que alcanzan una situación estacionaria.
Un sistema de control se especifica en términos de dicha respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, puesto que es fácil de generar, y si se conoce la respuesta al escalón, es matemáticamente posible calcular la respuesta para cualquier entrada. La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales, usando en muchas ocasiones la condición inicial nula, para lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero, y el sistema se analiza con mayor facilidad, aunque es importante conocer el efecto de las condiciones iniciales sobre la respuesta del sistema.
Esta respuesta de un sistema de control práctico muestra con frecuencia oscilaciones amortiguados antes de alcanzar el estado estacionario.
Para ello, presentamos a continuación los tipos de respuesta que puede presentar un sistema de segundo orden, a través del estudio de su función de transferencia, y de sus parámetros característicos como son la frecuencia natural no amortiguada (wn ) y el coeficiente de amortiguamiento( ξ ).
Un sistema de segundo orden tiene como función de transferencia a la siguiente ecuación: ; donde: ωn: frecuencia natural no amortiguada y ξ: coeficiente de amortiguamiento.
La respuesta del sistema depende de las raíces del denominador (polos del sistema). Para un sistema de segundo orden los polos se expresan como: . Dependiendo del valor ξ, los sistemas de segundo orden presentan distintos comportamientos.

A partir del estudio de dicha respuesta, según los gráficos obtenidos a partir de la variación del valor de ξ , podemos encontrar muchos parámetros a analizar, importantes de tener en cuenta en todo diseño de control, pues serán los que tendremos que tratar de corregir en función de nuestros objetivos. Esto lo realizaremos analizando en primer lugar si nuestro sistema es controlable (casi todos los sistemas son sensibles a ser controlables) y luego con el proceso de regulación con la asignación de ceros y polos, todo ello en el espacio de estado, en el cual estará centrado nuestro trabajo.
Excepto para ciertas aplicaciones en las que no se pueden tolerar oscilaciones, es conveniente que la respuesta transitoria sea suficientemente rápida y amortiguada. Por tanto, para una respuesta transitoria conveniente de un sistema de segundo orden, el factor de amortiguamiento relativo ξ debe estar entre 0.4 y 0.8; valores pequeños con una ξ <> 0.8 nos responderá con lentitud.
Dichos parámetros los podemos ver representados en la siguiente gráfica:

Una explicación del significado de estos es:

FORMULAS DE ESTOS VALORES:

Tiempo de subida (tr):

Tiempo de pico (tp):

Tiempo de establecimiento(ts ):

Sobreimpulso (Mp):

ANÁLISIS TEÓRICO DE LA RESPUESTA TEMPORAL DE UN CIRCUITO RLC SIN REALIMENTAR

Sea el circuito:

Hacemos el análisis circuítal respectivo:

Aplicando Laplace a las ecuaciones con C.I. = 0 tenemos:

En (1):

En (2):

De (*1) y (*2) obtenemos:

Haciendo un diagrama de bloques tenemos:

Luego hacemos el análisis para un sistema críticamente amortiguado,
para ello primero le damos la forma a la función de transferencia:

Y como se sabe para un sistema críticamente amortiguado ξ=1 2Wn=R/L

Continuando con las operaciones tenemos:

Selección de componentes:

Como tenemos el valor de L = 8.81mH, reemplazamos en (alfa) :

Hacemos una pequeña tabla de posibles valores para R y C:

Seleccionamos la resistencia de 560 ohms .

Luego los valores con los que vamos a trabajar son:

Luego los parámetros obtenidos con estos valores son:

Con estos parámetros hallamos los siguientes valores teóricos

Simulación en el programa Electronix Workbench:

Simulación con Matlab:

CIRCUITO RLC ANALIZADO EN EL LABORATORIO:


Materiales usados:

- Potenciómetro de 5K
- Inductor de 8.81mH
- Capacitor de 0.1uF
- Protoboard
- Cables y conectores.
- Fuente de alimentación DC.
- Fuente de alimentación CA.

TABLA 1

El circuito esta alimentado con una señal cuadrada de 13 voltios de amplitud y una frecuencia de 82 Hz, siendo la salida de 6.4 voltios. (Vi = 13V, Vo = 6.4V).


Las medidas obtenidas fueron las que siguen:
1) SOBRE IMPULSO MAXIMO = 9.04 – 6.4 = 2.64V
- VALOR DE ESTADO ESTABLE = 6.4V
- PORCENAJE DE IMPULSO = (2.64/6.4)100% = 41.25%
2) TIEMPO DE RETARDO (50% de Vo = 3.2V) = 30us
3) TIEMPO DE LEVANTAMIENTO = 40us
TIEMPO AL 10% = 9us
TIEMPO AL 90% = 49us
4) TIEMPO DE PICO = 72us
5) TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO = 348us

Tabla comparativa entre los valores teóricos y prácticos